6.1 Kraftlikevekt: ΣF = 0

Kapittel 6: Statikk

Se for deg at du skal bygge et hus. Da vil du nok gjerne at det skal bli stående i ro. Da må summen av ytre påvirkning på huset være null. Vi sier at et legeme er i translasjonslikevekt når den samlede kraften som virker på det er null. Fra Newtons 2. lov, \(\sum\vec{F} = m\vec{a}\), ser vi at \(\sum\vec{F}=\vec{0}\) nettopp betyr \(\vec{a}=\vec{0}\): legemet er enten i ro eller beveger seg med konstant hastighet.

Definisjon: Translasjonslikevekt

Et legeme er i translasjonslikevekt når: \[\sum \vec{F} = \vec{0}\] I to dimensjoner betyr dette to separate ligninger: \[\sum F_x = 0 \qquad \text{og} \qquad \sum F_y = 0\]

Når vi skal løse oppgaver som handler om likevekt, blir framgangsmåten den samme som vi brukte i kapittelet om krefter:

  1. Tegn et fritt-legeme-diagram med alle krefter.

  2. Velg et koordinatsystem og dekomponér kreftene langs aksene.

  3. Sett \(\sum F_x = 0\) og \(\sum F_y = 0\) og løs for de ukjente.

La oss ta et eksempel for å illustrere framgangsmåten.

Eksempel 6.1: Trafikklys

Et trafikklys med masse \(m = 50\,\mathrm{kg}\) henger i to like lange snorer som danner vinkel \(\alpha = 30°\) med horisontalplanet (se figuren under). Finn snorkraften \(S\) i hver snor.

Trafikklys i ro. Snorkreftene \(\vec{S}_1\) og \(\vec{S}_2\) danner vinkel \(\alpha\) med horisontalen.

1. Figur: Se figuren i eksempelet.

2. Lov: Systemet er i ro: \(\sum\vec{F}=0\). Symmetri gir \(S_1 = S_2 = S\).

3. Koordinatsystem: \(x\) horisontal, \(y\) vertikal oppover.

4. Dekomponér: \[\begin{aligned} \sum F_x = 0&:\quad -S\cos\alpha + S\cos\alpha = 0 \quad \checkmark \quad \text{(automatisk oppfylt)}\\ \sum F_y = 0&:\quad S\sin\alpha + S\sin\alpha - G = 0 \implies 2S\sin\alpha = m\mathrm{g} \end{aligned}\]

5. Løs for \(S\): \[S = \frac{m\mathrm{g}}{2\sin\alpha} = \frac{50\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}{2\cdot\sin 30°} = 490.5\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{4.9\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\] Merk at \(\sin 30° = \tfrac{1}{2}\), så snorkraften er nøyaktig lik tyngdekraften. En lavere vinkel \(\alpha\) ville krevd større snorkraft — derav det kjente rådet om ikke å henge noe i nær-horisontale snorer.

Eksempel 6.2: Lampe i to ulike snorer

En lampe med masse \(m = 6.0\,\mathrm{kg}\) henger i ro i to snorer festet i taket. Snor 1 danner vinkelen \(\alpha_1 = 30^\circ\) med horisontalen, og snor 2 danner vinkelen \(\alpha_2 = 60^\circ\) med horisontalen (se figuren).

  1. Tegn kreftene som virker på lampa.

  2. Sett opp likevektsbetingelsene \(\sum F_x = 0\) og \(\sum F_y = 0\).

  3. Finn snorkreftene \(S_1\) og \(S_2\).

En lampe henger i to snorer med ulike vinkler.

a) Tre krefter virker på lampa: tyngdekraften \(\vec{G}\) rett ned, og snorkreftene \(\vec{S}_1\) og \(\vec{S}_2\), som peker langs hver sin snor. Vi velger \(x\)-aksen horisontalt mot høyre og \(y\)-aksen vertikalt oppover.

Kreftene som virker på lampa.

b) Vi dekomponerer snorkreftene. \(\vec{S}_1\) peker oppover mot venstre, så \(x\)-komponenten er negativ. \(\vec{S}_2\) peker oppover mot høyre: \[\begin{aligned} \sum F_x = 0&:\quad -S_1\cos 30^\circ + S_2\cos 60^\circ = 0\\ \sum F_y = 0&:\quad S_1\sin 30^\circ + S_2\sin 60^\circ - m\mathrm{g} = 0 \end{aligned}\] Lampa henger ikke symmetrisk, så vi kan ikke anta at \(S_1 = S_2\). Vi har to ukjente og to likninger.

c) Fra \(x\)-likningen får vi \(S_2\) uttrykt ved \(S_1\): \[S_2 = S_1\,\frac{\cos 30^\circ}{\cos 60^\circ} = S_1\cdot\frac{0.866}{0.500} = 1.732\,S_1\] Dette setter vi inn i \(y\)-likningen: \[S_1\cdot 0.500 + 1.732\,S_1\cdot 0.866 = m\mathrm{g} \quad\Longrightarrow\quad 2.00\,S_1 = 6.0\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 58.86\,\mathrm{N}\] \[S_1 = \frac{58.86\,\mathrm{N}}{2.00} = 29.43\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{29\,\mathrm{N}}}\] \[S_2 = 1.732\cdot29.43\,\mathrm{N} = 50.97\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{51\,\mathrm{N}}}\] Den bratteste snora (snor 2) bærer mest av lampas tyngde.

Eksempel 6.3: Bil trukket opp en bakke

En vinsj trekker en bil med masse \(m = 1200\,\mathrm{kg}\) opp en bakke med konstant fart. Bakken har helningsvinkel \(\theta = 20^\circ\), og wiren fra vinsjen er parallell med bakken. Vi ser bort fra friksjon og luftmotstand.

  1. Tegn kreftene som virker på bilen.

  2. Finn normalkraften \(N\) fra bakken på bilen.

  3. Finn kraften \(S\) i wiren.

En vinsj trekker en bil opp en bakke med konstant fart.

a) Tre krefter virker på bilen: tyngdekraften \(\vec{G}\) rett ned, normalkraften \(\vec{N}\) vinkelrett ut fra bakken, og wirekraften \(\vec{S}\) langs bakken, oppover. Bilen har konstant fart, så akselerasjonen er null, og etter Newtons 2. lov er \(\sum\vec{F} = \vec{0}\). Bilen er altså i translasjonslikevekt selv om den beveger seg.

Når bakken er skrå, lønner det seg å legge \(x\)-aksen langs bakken og \(y\)-aksen vinkelrett på bakken. Da peker både \(\vec{N}\) og \(\vec{S}\) langs hver sin akse, og bare \(\vec{G}\) må dekomponeres: \[G_x = -m\mathrm{g}\sin\theta \qquad\text{og}\qquad G_y = -m\mathrm{g}\cos\theta\]

Kreftene som virker på bilen. Tyngdekraften er dekomponert langs og vinkelrett på bakken (stiplet).

b) Vinkelrett på bakken (\(y\)-retning): \[\sum F_y = 0:\quad N - m\mathrm{g}\cos\theta = 0\] \[N = m\mathrm{g}\cos\theta = 1200\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\cdot\cos 20^\circ = 11062\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{1.1\cdot 10^{4}\,\mathrm{N}}}\] Normalkraften er altså mindre enn tyngdekraften \(m\mathrm{g} = 11772\,\mathrm{N}\), fordi bare komponenten \(m\mathrm{g}\cos\theta\) presser bilen mot bakken.

c) Langs bakken (\(x\)-retning): \[\sum F_x = 0:\quad S - m\mathrm{g}\sin\theta = 0\] \[S = m\mathrm{g}\sin\theta = 1200\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\cdot\sin 20^\circ = 4026\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{4.0\cdot 10^{3}\,\mathrm{N}}}\] Wiren trenger altså bare å dra med omtrent en tredjedel av bilens tyngde. Svaret blir det samme om bilen står i ro, holdt fast av wiren, siden \(\sum\vec{F} = \vec{0}\) i begge tilfeller.

Lampe i to snorer

En lampe med masse \(m = 4.0\,\mathrm{kg}\) henger i ro i to snorer. Snor 1 går horisontalt inn til en vegg. Snor 2 går skrått opp til taket og danner vinkelen \(\alpha = 40^\circ\) med horisontalen.

  1. Tegn kreftene som virker på lampa.

  2. Finn snorkraften \(S_2\) i den skrå snora. (Hint: se på kreftene i \(y\)-retning.)

  3. Finn snorkraften \(S_1\) i den horisontale snora.

a) Tre krefter virker på lampa: tyngdekraften \(\vec{G}\) rett ned, snorkraften \(\vec{S}_1\) horisontalt inn mot veggen, og snorkraften \(\vec{S}_2\) skrått oppover langs snor 2, i vinkelen \(\alpha\) med horisontalen. Vi velger \(x\)-aksen horisontalt bort fra veggen og \(y\)-aksen vertikalt oppover.

b) Lampa er i ro, så \(\sum F_y = 0\). Bare \(S_2\) har en komponent i \(y\)-retning: \[S_2\sin\alpha - m\mathrm{g} = 0 \quad\implies\quad S_2 = \frac{m\mathrm{g}}{\sin\alpha} = \frac{4.0\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}{\sin 40^\circ} = \underline{\underline{61\,\mathrm{N}}}\]

c) \(\sum F_x = 0\) gir at den horisontale komponenten av \(S_2\) må oppveie \(S_1\): \[S_1 = S_2\cos\alpha = 61.0\,\mathrm{N}\cdot\cos 40^\circ = \underline{\underline{47\,\mathrm{N}}}\]