5.1 Arbeid

Kapittel 5: Arbeid og energi

I forrige kapittel så vi at kraft anvendt over tid forårsaket en endring i bevegelsesmengde: \[\Delta\vec{p}=\vec{F}\Delta t.\] Arealet under en \(F(t)\)-graf tilsvarer altså (endring i) bevegelsesmengde. Men… da er det saktens fristende å prøve noe annet også: Hva blir arealet under en \(F(s)\)-graf? \[??=\vec{F}\cdot \Delta\vec{s}.\] La oss si at Eva er på Hyrox-trening og dytter en kasse bortover et humpete gulv, slik at kraften hun virker på kassen med varierer med posisjonen; \(F(s)\). Hvordan skal vi da tolke arealet under \(F(s)\)-grafen? Jo, dette arealet er et mål på det vi i fysikken kaller arbeid;

I hverdagslivet bruker vi ordet arbeid om noe vi gjør over tid. Men i fysikk tilsvarer det impuls, eller endring i bevegelsesmengde. Begrepet arbeid er i fysikken reservert for kraft anvendt over strekning.

Definisjon: Arbeid

Arbeidet \(W\) som utføres av en kraft \(\vec{F}\) over en forflytning \(\vec{s}\) er gitt ved prikkproduktet: \[\begin{aligned} W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos\theta \end{aligned}\] Her er \(\theta\) vinkelen mellom kraftretningen og forflytningsretningen. Arbeid er en skalar og måles i joule \((\mathrm{J})\), der \(1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}\). For dere som kan integrere: Merk at definisjonen egentlig er \(W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}\), som for konstant kraft gir formelen over.

Legg merke til at vi tar skalarproduktet mellom kraft og forflytning. Det sikrer at kun den delen av \(F\) som peker i samme retning som \(s\) blir med i definisjonen av arbeid. Det er altså ikke nok at kraften er til stede – den må faktisk bidra til bevegelsen. En person som holder en tung sekk stille over hodet, utfører for eksempel ikke noe arbeid, slik det er definert i fysikken, selv om muskler spennes og fyren blir sliten. Dette ser vi av vinkelen \(\cos\theta\) som kommer inn i definisjonen via skalarproduktet. Når \(\theta = 0^\circ\) virker kraften i samme retning som bevegelsen, og arbeidet er maksimalt. Når \(\theta = 90^\circ\) virker kraften vinkelrett på bevegelsen, og \(W = 0\). Virker kraften mot bevegelsen (som friksjon), er \(\theta = 180^\circ\) og arbeidet negativt.

Eksempel 5.1: Dytte en boks

En boks dyttes langs et gulv med en kraft \(F = 10\,\mathrm{N}\) over en avstand \(s = 5.0\,\mathrm{m}\). Kraften virker i samme retning som bevegelsen (\(\theta = 0^\circ\)):

En mann dytter en eske med konstant kraft \(F\) i bevegelsesretningen, en avstand \(s\). Arbeidet er \(W = F \cdot s\).

\[W = F \cdot s \cdot \cos(0^\circ) = 10\,\mathrm{N} \cdot 5.0\,\mathrm{m} \cdot 1 = \underline{\underline{50\,\mathrm{J}}}\]

Eksempel 5.2: Slede på Hyrox-trening

I en Hyrox-treningstime dyttes en slede \(s = 10\,\mathrm{m}\) horisontalt med en kraft \(F = 2.0\,\mathrm{kN}\). Sleden har konstant fart.

  1. Beregn arbeidet kraften \(\vec{F}\) utfører.

  2. Beregn arbeidet som normalkraften \(\vec{N}\), tyngdekraften \(\vec{G}\) og friksjonskraften \(\vec{R}\) utfører.

a) Kraften \(\vec{F}\) virker i samme retning som bevegelsen, så \(\theta = 0^\circ\) og \(\cos\theta = 1\): \[W_F = F\cdot s\cdot\cos 0^\circ = 2.0\cdot 10^{3}\,\mathrm{N}\cdot10\,\mathrm{m}\cdot 1 = \underline{\underline{20\,\mathrm{kJ}}}\]

b) Normalkraften \(\vec{N}\) peker rett opp og tyngdekraften \(\vec{G}\) rett ned. Begge står vinkelrett på bevegelsen, så \(\theta = 90^\circ\) og \(\cos\theta = 0\): \[\underline{\underline{W_N = 0}} \qquad \text{og} \qquad \underline{\underline{W_G = 0}}\] For å finne friksjonskraften bruker vi at farten er konstant. Da er akselerasjonen null, og Newtons 1. lov gir at kraftsummen langs bevegelsen er null. Friksjonskraften er derfor like stor som skyvekraften, \(R = F = 2.0\,\mathrm{kN}\), men peker motsatt vei av bevegelsen (\(\theta = 180^\circ\), \(\cos\theta = -1\)): \[W_R = R\cdot s\cdot\cos 180^\circ = 2.0\cdot 10^{3}\,\mathrm{N}\cdot10\,\mathrm{m}\cdot(-1) = \underline{\underline{-20\,\mathrm{kJ}}}\] Legg merke til at det totale arbeidet på sleden blir null: \(W_F + W_N + W_G + W_R = 0\). Det henger sammen med at farten til sleden ikke endrer seg — mer om dette i seksjonen om arbeid-energi-setningen.

I eksemplet over var kraften konstant. Men hva om kraften varierer underveis? Et typisk eksempel er en fjær: ifølge Hookes lov øker motstanden jo mer fjæren presses sammen. Kraften som trengs er proporsjonal med forskyvningen \(x\) fra likevektsposisjonen, \[F = k \cdot x,\] der \(k\) er fjærkonstanten (enhet \(\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}\)). Siden kraften ikke er konstant, kan arbeidet ikke beregnes direkte som \(F \cdot s\). Geometrisk er arbeidet arealet under \(F(x)\)-grafen, og resultatet blir \[W = \frac{1}{2} k x^2.\] Den energien som lagres i fjæren kalles elastisk potensiell energi – mer om dette i seksjonen.

Figurene nedenfor illustrerer de to tilfellene grafisk: i begge tilfeller er arbeidet lik arealet under kraftkurven.

Konstant kraft \(F_0\): arbeidet \(W = F_0\cdot s\) er arealet av rektangelet under kurven.

Lineært voksende fjærkraft \(F = kx\): arbeidet \(W = \tfrac{1}{2}kx^2\) er arealet av trekanten under kurven.

Arbeid med konstant kraft

Eva drar en kasse \(s = 12\,\mathrm{m}\) bortover et flatt gulv. Hun drar i et tau med kraften \(F = 150\,\mathrm{N}\), og tauet danner vinkelen \(\theta = 25^\circ\) med gulvet. Friksjonskraften på kassen er \(R = 110\,\mathrm{N}\).

  1. Hvor stort arbeid gjør Eva på kassen?

  2. Hvor stort arbeid gjør friksjonskraften? Forklar hvorfor svaret blir negativt.

  3. Hvor stort arbeid gjør tyngdekraften og normalkraften på kassen? Forklar svaret.

Vi bruker definisjonen av arbeid, \(W = F\cdot s\cdot\cos\theta\), der \(\theta\) er vinkelen mellom kraften og forflytningen (se Arbeid i kompendiet).

a) Tauet danner vinkelen \(\theta = 25^\circ\) med bevegelsesretningen: \[W_F = F\cdot s\cdot\cos 25^\circ = 150\,\mathrm{N}\cdot12\,\mathrm{m}\cdot 0.906 = 1.63\,\mathrm{kJ} \approx \underline{\underline{1.6\,\mathrm{kJ}}}\]

b) Friksjonskraften peker motsatt vei av bevegelsen, så \(\theta = 180^\circ\) og \(\cos\theta = -1\): \[W_R = R\cdot s\cdot\cos 180^\circ = 110\,\mathrm{N}\cdot12\,\mathrm{m}\cdot(-1) = -1.32\,\mathrm{kJ} \approx \underline{\underline{-1.3\,\mathrm{kJ}}}\] Arbeidet er negativt fordi friksjonen virker mot bevegelsen. Friksjonen tar energi ut av bevegelsen og gjør den om til varme.

c) Tyngdekraften peker rett ned og normalkraften rett opp. Begge står vinkelrett på forflytningen (\(\theta = 90^\circ\), \(\cos 90^\circ = 0\)), så \[\underline{\underline{W_G = 0}} \qquad\text{og}\qquad \underline{\underline{W_N = 0}}\] Kassen flytter seg verken opp eller ned, så disse kreftene bidrar ikke til bevegelsen.

Arbeid på en fjær

En fjær har fjærkonstant \(k = 400\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}\).

  1. Hvor stort arbeid må du gjøre for å presse fjæra sammen \(x = 5.0\,\mathrm{cm}\)?

  2. Hvor stort arbeid må du gjøre for å presse den sammen \(x = 10\,\mathrm{cm}\)?

  3. Kompresjonen ble doblet, men arbeidet ble ikke doblet. Forklar hvorfor, gjerne ved hjelp av arealet under \(F(x)\)-grafen.

Arbeidet for å presse sammen en fjær er arealet under \(F(x)\)-grafen, \(W = \tfrac{1}{2}kx^2\).

a) Med \(x = 0.050\,\mathrm{m}\): \[W = \frac{1}{2}\cdot400\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}\cdot(0.050\,\mathrm{m})^2 = \underline{\underline{0.50\,\mathrm{J}}}\]

b) Med \(x = 0.10\,\mathrm{m}\): \[W = \frac{1}{2}\cdot400\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}\cdot(0.10\,\mathrm{m})^2 = \underline{\underline{2.0\,\mathrm{J}}}\]

c) Arbeidet ble fire ganger så stort. Arbeidet avhenger av \(x^2\): dobles \(x\), blir \(x^2\) fire ganger så stort. Grafisk er arbeidet arealet av en trekant under \(F(x) = kx\). Når \(x\) dobles, blir både grunnlinjen og høyden i trekanten dobbelt så store, og da blir arealet fire ganger så stort.

Prøv selv i Python

Koden under regner ut arbeidet en snorkraft gjør på en kjelke. Endre vinkelen eller kraften og trykk Kjør. Hva skjer når vinkelen nærmer seg 90°?

import numpy as np

F = 50        # snorkraft i newton
s = 20        # strekning i meter
theta = 30    # vinkel i grader

W = F * s * np.cos(np.radians(theta))
print(f"Arbeid: W = {W:.0f} J")

Her ser du arbeid som areal under grafen når kraften varierer langs strekningen. Prøv å bytte ut kraftfunksjonen:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

s = np.linspace(0, 3000, 600)            # strekning i meter
F = 400 + 60 * np.sin(s / 250)           # kraften varierer litt underveis (N)

W = np.trapezoid(F, s)                   # arbeid = areal under grafen
print(f"Arbeid: W = {W/1e6:.2f} MJ")

plt.figure(figsize=(7, 3.2))
plt.plot(s, F, color="#3b9a2a", lw=2)
plt.fill_between(s, F, alpha=0.3, color="#6ef04a")
plt.xlabel("s (m)"); plt.ylabel("F (N)")
plt.title("W = arealet under kraft–strekning-grafen")
plt.ylim(0, 520)
plt.tight_layout()
plt.show()